Основные принципы раннего развития творческих способностей математически одаренных школьников

Воспитание школьника, нацеленного на успех в области изучения математики начинается с 5-6 класса. Главным в методике подготовки такого школьника является обучение творчеству, развитие творческих способностей ребенка, а не набор математических фактов и формул.

Отличительной особенностью творчества в области математики является то, что оно здесь проявляется как бы в двух ипостасях: создание личностно, локально или общезначимого нового продукта и строгое логическое обоснование целесообразности и правомерности его создания. При этом и процесс создания продукта, и процесс обоснования целесообразности и правомерности его существования, хотя и носят творческий характер, являются достаточно «жестко» регламентированными по составу допустимых средств и способов деятельности.

Следует также отметить, что процессы создания и обоснования являются сходными, носят родственный характер, и часто являются неотделимыми друг от друга. Однако необходимость выделения этих процессов как самостоятельных в математическом творчестве обусловлено тем, что достаточно часто учащиеся создают какой-либо новый продукт, но не могут грамотно обосновать целесообразность и правомерность его создания.

Например, при решении задачи на нахождение всех корней уравнения, предъявляются какие либо его решения, но не обосновывается не существование других корней. Также часто, особенно на олимпиадах, где творчество должно проявляться особенно масштабно и ярко, учащиеся предъявляют либо частичное решение, либо только ответ, полученный ими в результате «озарения», что практически не является решением и не оценивается экспертами.

Вспомним также разнообразие создаваемых в процессе математического творчества продуктов – от оригинального использования известных понятий, утверждений и методов, до введения новых понятий, формулировки новых суждений о свойствах объектов, создание новых методов и т.д. При этом создаваемые объекты, даже если представляются образно (графики функций или геометрические фигуры), то все равно должны быть описаны в словесно-символьной форме. Все это подчеркивает сложность задачи развития математического творчества учащихся, т.е. их творческого математического мышления.

Отметим также, что изучение математики как нельзя лучше приспособлено для развития творческого мышления – даже самые ленивые и «неспособные» вынуждены: решая новые задачи применять известные действия в новых условиях; находить разные решения уравнений и неравенств; решать задачу разными методами; проводить какой-никакой анализ решения; планировать и выполнять многие действия в уме и т.д. Поэтому, решению задачи развития творческого мышления учащихся в процессе обучения математике и посвящается много работ. Однако эта тема настолько неисчерпаема, подходов к ее решению бесконечно много, что имеет смысл каждое предложение, хоть сколь-нибудь приближающее решение этой задачи.

Так как творчество акт самостоятельной деятельности, то естественно наиболее эффективным средством его развития средствами математики является организация решения учащимися нестандартных задач или стандартных задач нестандартными методами. Как правило, этим занимаются с отдельными математически одаренными учащимися при подготовке их к участию в олимпиадах. Но творческое мышление нужно не только им, оно в какой- то мере необходимо каждому человеку, особенно в настоящее и будущее время. При этом в математике есть огромное количество интересных нестандартных задач, доступных практически каждому учащемуся, решение которых развивает различные стороны творческого мышления.

Рассмотрим для примера серию однотипных задач, в которой решение первой задачи является тривиальным и не требует никакого творчества. Решение второй задачи вынуждает придумывать какую-нибудь «хитрость». При решении третьей задачи эту «хитрость» можно представить уже в качестве метода решения класса таких задач, а при решении задач, полученных в результате обобщения рассматриваемых объектов, сформулировать и доказать новое утверждение.

Задача 1. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 10. В результате несложных вычислений учащиеся получат 55. Задача 2. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Разрешив учащимся потратить некоторое время на «тупые» вычисления, если никто не предложит другого, переходим к обсуждению. Говорим, что эта задача также не представляет сложности, однако она очень утомительна и вы легко можете ошибиться при однообразном многократном повторении операции сложения. Теперь вообразите, что числа от 1 до 100 записаны в ряд: 1 2 3 ... 98 99 100. Теперь в нижнем ряду повторите эту запись, но расположите числа в обратном порядке, так чтобы 100 стояло под 1, 99 по 2 и т.д.

       1    2    3 ... 98 99 100
      100  99 98 ..  3  2    1

Найдите суммы пар чисел, стоящих друг под другом. Легко заметить, что каждая пара чисел, одно из которых взято из первого ряда, а второе из второго ряда, стоящее под первым, в сумме дает 101. Почему так происходит? Так и должно быть, потому что, по мере того как числа верхнего ряда возрастают, увеличиваясь на единицу, числа нижнего убывают на единицу, так что сумма остается прежней. Сумма верхнего и нижнего рядов равна 100 101. Это в два раза больше, чем нам надо сосчитать, потому что мы использовали два ряда чисел от 1 до 100. Поэтому мы поделим ее на два и получим 50 101, или 5050. Этот метод не только очень быстрый, но почти избавляет нас от риска ошибиться. Можно сказать, что этот метод сложения чисел от 1 до 100 гораздо лучше «тупого» последовательного сложения чисел.

Хотя метод и совершенно логичен по своей сути, очень немногие люди пошли бы таким путем самостоятельно. Попробуйте предложить другой способ решения этой задачи, можно предложить другое преобразование ряда чисел. Если учащиеся не предложат ничего другого, можно обсудить с ними такой способ решения той же задачи – «разломать» ряд посередине:

 50 49 48 ...  3  2    1
 51 52 53 ... 98 99 100

В результате, складывая пары чисел, стоящих на соответственных местах этих рядов мы вновь получим 50 101, или 5050.

Далее можно предложить найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000. Следующая задача, если это позволяет возраст учащихся, может быть задачей найти сумму нескольких последовательных членов, начиная с первого, какой-либо арифметической прогрессии. Далее можно предложить выдвинуть общую гипотезу о виде формулы для общего члена и суммы арифметической прогрессии, и доказать эти формулы.

В процессе решения этой серии задач, у учащихся проявляются такие качества творческого мышления, как оригинальность (проявляющаяся в применении к преобразованию числовых рядов необычных средств – повторения ряда и размещение его в обратном порядке), гибкость и дивергентность (проявляющаяся в способности продуцировать разнообразные идеи – от «тупого» суммирования до различных преобразований ряда чисел, в отказе от неоправдавших себя идей) и т.д.

Важная задача педагога уменьшить «антитворческий» эффект любого обучения. Для решения этой нелегкой задачи целесообразно обратиться к опыту педагогов и психологов, озабоченных развитием творческого потенциала своих воспитанников. Известный педагог–новатор, народный учитель Виктор Федорович Шаталов на протяжении всех лет работы при каждом удобном случае напоминал учащимся о том, что если в первые 5–6 минут не возникало хотя бы ориентировочного плана решения задачи, то ее просто нужно оставить и заняться другим делом. Но по прошествии небольшого промежутка времени необходимо снова внимательнейшим образом вчитаться в условие неподдающейся задачи. Появится мысль – работай над ней, развивай по всем направлениям. Нет мысли – оставь задачу. Снова переключайся на другую работу, а спустя час–полтора вернись к этой же задаче. Если появится конкретный путь решения, то его необходимо довести до конца и получить ответ, подтверждающий правильность или ошибочность догадки.

Но если в задаче снова – ни проблеска? Оставь ее на завтра, на послезавтра, на следующую неделю, но время от времени мысленно снова и снова возвращайся к ней [36]. Свойство нашего мышления таково, что если в него заложен раздражитель, то поиск будет идти постоянно, даже если мы сознательно не нацеливаем себя на него. Этот процесс нахождения пути решения идет скрыто, самопроизвольно, но от этого ничуть не менее активно.

Средства и методы развития творческого мышления учащихся в учебное время не достаточно разработаны и не используются должным образом большинством учителей в большей части общеобразовательных учебных заведений. Практическая задача данного исследования состоит в разработке средств развития творческого мышления.

Особенно актуально создание средств развития творческого мышления для учащихся 5-6 классов, так как именно в этом возрасте начинают формироваться основные структуры мышления, учебная деятельность, ставшая ведущей формой деятельности в период обучения в начальной школе начинает сдавать свои позиции производственной деятельности, которая преобразовывается из фрагментарной в ведущую форму деятельности. Кроме того, именно в этом возрасте происходит потеря для дальнейшего развития довольно большой части математически способных школьников: им становится неинтересно и скучно заниматься стандартными преобразованиями математических объектов.

Разрабатываемые нами средства представляют собой серии или наборы задач как по разделам школьной программы, так и выходящие за её пределы.

Серии задач отличаются как по своему содержанию, так и по месту использования в учебном процессе (либо жестко привязаны к конкретной теме, либо используются при изучении разных тем), что будет показано нами в методических рекомендациях по использованию задачного материала. Каждая серия фактически представляет собой непрерывную задачную линию, в которой задачи связаны либо общим сюжетом, либо общими героями, либо общим подходом к решению, либо сходством математической модели и т.д.

При этом, к достоинствам разработанных серий задач мы относим то, что для решения большей части из них учащемуся достаточно тех знаний, которые он получает в процессе освоения школьной программы. Главное достоинство разработанных серий – доступность, именно доступность позволяет сохранить мотивацию к обучению и развить творческое мышление у большей части учащихся класса.

Нам представляется значимым тот факт, что в содержании задач с одной стороны отражается наличный субъектный опыт обучающихся, с другой стороны, содержание части задач направлено на расширение этого опыта. Расположены задачи в сериях в порядке возрастания сложности, которая определяется по различным параметрам: сложность математической модели задачи, сложность процесса построения математической модели, оригинальность идеи, пропедевтика еще не изученных разделов и т.д. Кроме того, любая задача из предложенных серий может быть использована для проведения математических соревнований.

При решении каждой серии постепенно осваивается описание процесса решения. На первом этапе проводим анализ формулировки задачи: выделение условий и требований, выделение объектов и их характеристик, введение обозначений, формулировка соотношений, в виде равенств и неравенств, между выделенными количественными характеристиками объектов и т.д. При этом добиваемся сначала подробного описания всех обозначений, описания и обоснования всех соотношений и их преобразований. Постепенно добиваемся совмещения процесса описания и проговаривания решения, переводя его в умственный план.

Скачать статью Основные принципы раннего развития творческих способностей математически одаренных школьников

Шварева Людмила Викторовна, учитель математики МБОУ "СОШ №10" г.Ангарска