Геометрический смысл производной

Материал из IrkutskWiki
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показана 1 промежуточная версия 1 участника)
Строка 26: Строка 26:
 
уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны
 
уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны
 
частным производным f по x и y.
 
частным производным f по x и y.
 +
 +
Выполнено в рамках проекта '''[[Применение производной]]'''
 +
 +
[[Категория:Проект]]

Текущая версия на 16:10, 17 мая 2008

Касательная к кривой

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M. Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x0 , y0). Введем новый аргумент x0 + ∆x, его значению соответствует значение функции y0 + ∆y = f(x0 + ∆x). Соответствующая точка - N(x0 + ∆x, y0 + ∆y). Проведем секущую MN и обозначим φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что ∆y / ∆x = tg φ. Если теперь ∆x будет приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться вокруг точки M, а угол φ - меняться. Если при ∆x → 0 угол φ стремится к некоторому α, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол α, будет искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент:

То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)). Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны частным производным f по x и y.

Выполнено в рамках проекта Применение производной